Thermalisation Lors d'une simulation monte carlo, il est important de laisser le système thermaliser avant de prendre les premières mesures. En effet, le système évolue d'une configuration à une autre avec une probabilité proportionnelle à e-b DH où D H=Hf-Hi. Or, puisque la configuration initiale est choisie aléatoirement, il est possible que cette dernière soit très peu probable étant donné un hamiltonien particulier. Ainsi, en laissant le système évoluer, ce dernier devrait se déplacer dans l'espace des phases pour atteindre des configurations plus probables. Le programma Hubb2_0.f offre la possibilité de laisser le système évoluer "à vide" pour un nombre NWARM de balayage espace-temps complets.

À l'aide du programme corrg.f, nous pouvons vérifier quel devrait être le temps de thermalisation utilisé pour une simulation particulière. Supposons que le système soit initialement dans une configuration A choisie aléatoirement. Il est vraisemblable que l'énergie, le remplissage et autres observables associées à la configuration A ne coïncide pas avec celles des configurations d'équilibre. Ainsi, plus le temps de thermalisation accordé par l'utilisateur est petit, plus la fluctuation des observables devraient êtres important, pour ensuite tendre vers une valeur finie et peu élevée.

Nous évaluons les fluctuations des différents observables pour un réseau de 4x4 sites, b =4. Chaque bloc de mesure est la moyenne arithmétique de 10 mesures. Premièrement, voici les mesures ainsi que les fluctuations associées à la fonction de Green de vecteur d'onde k=(p ,0) (niveau de Fermi), au temps imaginaire t =b /2, à demi remplissage á nñ =1.

Nous constatons que les résultats ne suivent pas nos prédictions. Les fluctuations ne semblent pas diminuer et la valeur moyenne de la fonction de Green est la même tout au long de la simulation. Plusieurs hypothèses peuvent êtres formulées afin d'expliquer l'origine de nos observations:
    1. La fonction de Green ne varie pas significativement lorsqu'on change de configuration. Ainsi, même si la configuration initiale est loin des configurations d'équilibre, la valeur de la fonction de Green initiale s'apparente beaucoup à celle d'équilibre.
    2. Le problème de collement: le système reste coincé dans un sous-espace de phase.
    3. Le temps de thermalisation est trop court, il est ainsi entièrement contenu dans les 10 premières mesures, i.e. dans le premier bloc.
    4. Le temps de thermalisation est trop long pour nous permettre d'observer ses effets en 10000 mesures.
Afin de vérifier notre première hypothèse, nous répétons l'expérience en utilisant cette fois le remplissage, l'énergie cinétique et l'énergie totale comme observables. Les autres paramètres de simulation restant inchangés.

Encore une fois, nos mesure n'affiche aucune thermalisation. Pour les trois observables considérés, la moyenne des mesures est relativement constante du début à la fin de la simulation. Donc, si la seconde hypothèse est vraie, elle n'est pas la seule cause de cette indépendance au temps de thermalisation. Dans le but de vérifier notre seconde hypothèse, deux possibilités s'offrent. La première constitue à changer l'orientation d'un spin à un site choisit aléatoirement, et cela, pour toutes les tranches de temps imaginaire. Cette manoeuvre disperse l'échantillonnage de l'espace de phase, mais s'avère peu fructueuse.

Pour vérifier notre seconde hypothèse, nous pouvons également simuler un système de spins où le potentiel d'interraction est positif. En général, le problème du collement n'est pas présent dans un tel système. Ici, on utilise U=+4.

Étrangement, le remplissage ne fluctue pas pour un U positif. De plus, les autres observables sont très stables pendant toute la durée de la simulation. Ainsi, nous pouvons écarter notre seconde hypothèse, puisque le problème de collement ne semble pas être la cause de nos observations.

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