Algorithme de Bryan

Références : R.K. Bryan, Solving Oversampled Data Problems by Maximum Entropy, dans : Maximum Entropy and Bayesian Methods, P.F. Fougères 1989.
                         S. Moukouri, Technique de prolongement analytique de la fonction de Green de Matsubara: Application au modèle de Hubbard 2D.
                        M. Jarrell, J.E. Gubernatis, Physics Report 269 (1996) 133-195.

Exemple de fichier d'entrée :
    moy                 Prefixe  
    5.d0                Beta  
    .9                  Remplissage  
    .2                  Mu sans U/2  
    100                 Nb points entree (TRAN)  
    4.d0                U  
    10                  N dimmension X  
    10                  M dimmension Y  
    501                 Nb points sortie (nw)  
    -10                 wmin (0. pour les bosons)  
    10                  wmax  
    20                  Nb de valeurs de alpha (nalpha)   
    0.01                Alpha1  
    8                   Alpha2  
    900                 Nb d'iterations (niter)  
    4                   Nb de vecteurs d'onde  
    6            Nb options (nopt)  
    y            Matrice de covariance  
    n            Imposer la symetrie de G  
    y            Moments du modele par defaut  
    n            Doubler le nobmbre de mesures  
    n            Calculer le facteur de Scaling  
    y            Calculer l'incertitude  
    ---------------------------------------  
    Vecteurs d'onde et scaling  
    KX      KY      Scaling   Alpha   
    1       1       1         5  
    2       9       1.5       7.6  
    2       7       13.4      4  
    3       5       2         22  
    4       3       1         .01  
    5       1       10        0  
    ----------------------------------------
Notes :

  1. Le nombre de point d'entrée n'inclus pas les deux extrémités de la fonction de green, si i prend les valeurs de 0 à 32, alors NTRAN=32.
  2. Si l'intervalle de frequence est symétrique par rapport à 0, il est préférable de choisir un nombre impaire de fréquences nw, afin d'inclure 0.
  3. Le nombre d'itérations représente le nombre maximal d'ittérations.
  4. Les valeurs permises pour le vecteur d'onde sont les suivantes : KX=1, 2, ..., C; KY=1, 2, ..., B.
Les options :
  1. Permet d'effectuer le calcul en tenant compte des corrélations de la fonction de green.
  2. L'imposition de la symétrie de G est basée sur la symétrie particule-trou. Elle doit être utilisée à demi-remplissage seulement.
  3. Utilise un modèle par défaut Gaussien dont les deux premiers moments sont exactes.
  4. Permet de doubler le nombre de mesures en utilisant le vecteur d'onde -k  en plus de k. Elle doit être utilisée à demi-remplissage seulement.
  5. Calcul le facteur de scaling  tel que prescrit dans ref.3.
  6. Calcul l'incertitude du poids spectrale.
Utilisation:
  1. Choisir une grande plage de a afin de s'assurer d'encadrer le maximum. Fixer le "Alpha" spécifique à chaque vecteur d'onde à zéro.  Si a min est trop petit, la distribution de probabilité sera entièrement concentrée sur cette valeur, vue la forme de la probabilité a priori sur a. Une valeur typique de  min est 0.5. Sélectionner l'option de calcul du scaling. Fixer le facteur de "scaling" à 1 pour chaque vecteur d'onde. Exécuter le programme.
  2. Pour chaque vecteur d'onde, ajuster le "scaling" et le "Alpha" tel que prescrit dans le fichier de sortie portant le suffix "al". Dès que ce "Alpha" est différent de 0, la plage de a ne sera pas balayée. Exécuter le programme.
  3. Répéter l'étape précédente si jusqu'à ce que le facteur de scaling cesse de fluctuer de façon significative.
Remarque: En générale, le facteur de scaling n'affecte pas beaucoup le résultat final. Il n'est donc pas nécéssaire d'atteindre la stabilité du scaling.

Critères de validation:

  1. En général, le  devrait être plus petit que le nombre de tranches de temps. Cela signifie qu'en moyenne, l'écart entre chaques points de G (n) et  ceux de G est plus petit que l'erreur statistique sur G.
  2. Jarrell et al. suggèrent le test du ngood. Ce nombre est donné dans le fichier de sortie portant le suffix "al". Il représente une approximation du nombre de donnés statistiquement indépendantes. Ce nombre devrait être environ égale à -2S où S est l'ontropie. Il devrait également être une approximation de s, la dimension de la base réduite. Ces critères sont très rarement observés.
  3. L'indépendance du résultat final sur le modèle par défaut est le signe d'un résultat stable.
  4. L'indépendance du résultat sur la valeur de  est également signe de stabilité. Cette comparaison peut être effectuée facilement puisque le fichier de sortie contiend le poids spectral moyenné sur la plage de  ainsi que le poids spectral obtenu pour  max.

    5.  
    L'algorithme de Bryan est basé sur une décomposition en valeurs singulières du noyau de transformation K. Cette décomposition prend la forme suivante: Kmn=Vmm mnUTnn  , où  est une matrice diagonale. De ses éléments, nous conservons uniquement ceux qui sont supérieurs à 10-12 . Ainsi, nous traitons le problème dans le sous espace singulier de dimension s du noyau. Par exemple, la dimension de la matrice U sera maintenant s par s. Nous pouvons ainsi représenter le poids spectral dans la base suivalte:
    (1) 
    Le problème de minimisation se rapporte doncà la résolution du système d'équation linéaire suivant:
    (2) 
    Les détails de ce calcul peuvent êtres trouvés dans réf. 1.
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