André-Marie Tremblay

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André-Marie Tremblay au bureau

Propriétés des systèmes électroniques fortement corrélés et supraconductivité

a) Problématique :

Les propriétés de la matière solide ou liquide dépendent des propriétés des atomes constituants, mais aussi de phénomènes plus subtils, dits collectifs. Par exemple, la résistivité d'un métal à la température de la pièce est déterminée par des interactions entre électrons et vibrations collectives (phonons) du réseau cristallin.

Un des phénomènes collectifs les plus remarquables en physique de la matière condensée (solide ou liquide) est celui de la supraconductivité. Dans cet état de la matière, les phénomènes propres à la théorie la plus fondamentale de la matière, la mécanique quantique, se manifestent à une échelle macroscopique: les courants électriques circulent sans résistance, et les champs magnétiques sont exclus, donnant lieu au phénomène de lévitation souvent illustré dans la presse populaire. La compréhension de ce phénomène collectif par Bardeen, Cooper et Schrieffer en 1957 fut un succès retentissant. La supraconductivité est tellement bien comprise qu'elle est maintenant utilisée pour caractériser d'autres propriétés des matériaux. Cet état de choses a subitement changé en 86-87 suite à la découverte de la supraconductivité à haute température. Ces températures, aux environs de 100K, ne sont hautes que par opposition à la vingtaine de degrés Kelvin connue auparavant comme la plus haute température à laquelle un matériau pouvait devenir supraconducteur. Les propriétés des matériaux à haute température de transition ne semblent pas être expliquées par les approches conventionnelles. Même pour un phénomène aussi banal que la dépendance en température de la résistivité au-dessus de la température de transition supraconductrice, les modèles habituels de la physique de la matière condensée semblent impuissants.

Un des modèles les plus susceptibles d'expliquer l'essentiel de la physique de ces nouveaux matériaux, ainsi que celle d'autres familles de solides de même type, est le modèle dit de Hubbard. Ce modèle inclut de la façon la plus simple possible la physique qui influence le comportement des électrons dans de tels systèmes, soit la présence d'un réseau cristallin et l'existence de répulsion entre lesdits électrons. L'importance de ce modèle va bien au-delà des supraconducteurs à haute température de transition puisqu'il permet d'étudier les nouveaux effets physiques qui apparaissent dû aux effets combinés des basses dimensions et des interactions fortes.

b) Objectifs :

L'objectif général de ce programme de recherche est de comprendre la physique des électrons dans les solides où la force des interactions (on dit aussi le couplage) entre électrons et l'impossibilité de se déplacer dans certaines directions mène à des phénomènes physiques nouveaux. Dans les conditions que nous venons de décrire, on dit que les électrons sont fortement corrélés.

L'amélioration des méthodes théoriques pour traiter les électrons corrélés est aussi un sous-objectif de ce programme de recherche. Plusieurs méthodes existent déjà. Cependant, certaines d'entre elles sont nouvelles et ont encore besoin d'être vérifiées. De plus, il n'y a encore des cas où on ne connaît pas de méthode analytique appropriée. Nous avons déjà développé deux nouvelles approches, une en couplage intermédiaire et une en couplage fort.

Mentionnons aussi comme sous-objectif, l'étude des supraconducteurs organiques par des approches analogues. Il s'agit là d'une autre classe de matériaux pour laquelle la supraconductivité n'a pas d'origine généralement admise. Il n'est pas rare de trouver dans la littérature des idées développées dans le contexte des supraconducteurs organiques s'appliquer aux supraconducteurs à haute température de transition et vice-versa.

c) Méthodologie :

Plusieurs méthodes analytiques ont été développées pour comprendre les systèmes fortement corrélés. Aux fonctions de Green des années 60 s'est ajouté le groupe de renormalisation dans les années 70, puis les méthodes de simulation numérique et les méthodes de type non-perturbatives (bosons esclaves et développements en 1/N) dans les années 80 et enfin des méthodes comme la théorie de champ moyen dynamique dans les années 90. Les méthodes numériques étaient d'abord assez limitées, mais grâce à des développements algorithmiques et à l'augmentation de la puissance de calcul des ordinateurs, il est maintenant possible de faire des simulations fiables dans des régimes de paramètres intéressants.

Nous utilisons plusieurs approches complémentaires. Parmi ces approches, les simulations numériques sont fondamentales pour nous permettre de tester la validité des approches analytiques puisque celles-ci sont en général approximatives. Nous avons développé des programmes de simulations numériques sophistiqués que nous mettons maintenant à profit pour réaliser nos objectifs. Il n'existe maintenant dans le monde qu'une dizaine de groupes qui ont développé cette expertise. Un ordinateur parallèle IBM-SP est à notre disposition. De plus, Alain Veilleux et Michel Barrette ont monté une grappe d'une soixantaine de processeurs Intel (classe Beowulf) qui nous permet d'atteindre des vitesses de calcul comparables aux super-ordinateurs.

Nous avons aussi développé dernièrement une nouvelle approche non-perturbative qui permet d'obtenir des résultats analytiques supérieurs à ceux des autres approches lorsqu'on les compare aux simulations Monte Carlo. Notre approche en plus prédit des effets physiques nouveaux. Nous continuons de développer cette approche en plus de l'appliquer à différents problèmes.

d) Réalisations :

Rappels sur les réalisations antérieures (mise en contexte):

i) Nouvelle approche au problème à N-corps pour le modèle de Hubbard.Yury Vilk et moi-même avons développé une nouvelle approche au problème à N-corps pour les modèles à courte portée (modèle de Hubbard). Cette approche, dont les détails ont été publiés en 1997, est basée sur la nécessité de satisfaire les lois de conservation, le principe de Pauli et plusieurs règles de somme importantes. Cette approche satisfait aussi le théorème de Mermin-Wagner en deux dimensions. L'effet des modes collectifs sur les propriétés à une particule est obtenu à l'aide d'une formule de type paramagnon qui est cohérente avec les propriétés à deux particules dans le sens qu'on obtient la même énergie potentielle peu importe le point de départ. Comme le théorème de Migdal ne s'applique pas pour les corrections de vertex, celles-ci sont incluses. La théorie est en accord quantitatif avec les simulations Monte Carlo. Les prédictions principales sont a) Un diagramme de phase magnétique où l'ordre persiste au-delà du demi-remplissage mais où le ferromagnétisme de Stoner est complètement absent. Les comportements critiques quantiques et classique renormalisés sont ceux du modèle sphérique. b) Dans le domaine classique renormalisé, les fluctuations de spin produisent des précurseurs des bandes antiferromagnétiques (bandes fantomes) et détruisent les quasiparticules du liquide de Fermi sur une grande plage de température au-dessus de la transition de phase à température nulle. Ce phénomène est illustré dans le rapport de 1996. La dimension critique supérieure pour ce phénomène est trois. Les fluctuations de paire dans les modèles attractifs peuvent mener à des effets physiques analogues.  Ces effets précurseurs sont directement reliés à la question de l'existence du célèbre régime "pseudogap" dont la littérature sur les supraconducteurs à haute température fait abondamment état.

La méthode que nous avons développée est la seule qui permette d'obtenir, sans paramètre ajustable, un bon estimé de la température critique et des fluctuations de spin pour le modèle de Hubbard bi-dimensionnel en régime de couplage faible à intermédiaire. Le projet suivant est une application de notre méthode à l'étude des fluctuations de spin. Notre approche permet aussi d'avoir accès aux propriétés à une particule. Nous utilisons cette approche dans plusieurs projets, tous reliés à la question du pseudogap.

ii) Projet Monte Carlo quantique Nous continuons de développer cet outil précieux qui nous permet de constamment vérifier la validité de nos approches et d'explorer des domaines de paramètres inaccessibles aux méthodes analytiques. Le programme a été réécrit en Fortran 90 par Hugo Touchette en 1996 et il tourne sur  l'ordinateur parallèle IBM SP.  En 1998 David Poulin et Steve Allen ont terminé les travaux entrepris par Samuel Moukouri pour développer les programmes pouvant analyser les données Monte Carlo en temps imaginaire pour en extraire, par une méthode de prolongement analytique dite "d'entropie maximum", les propriétés en fréquence réelle. Nous avons analysé jusqu'à maintenant surtout le poids spectral à une particule et celui pour les fluctuations de paire. Tel que discuté ailleurs dans ce rapport, les simulations Monte Carlo ont commencé en 1998 à être utilisées par David Poulin pour vérifier les limitations de la méthode "Fluctuation Exchange Approximation", et l'applicabilité de notre méthode perturbative en couplage fort. Il est aussi prévu de les utiliser éventuellement pour vérifier les extensions de notre approche au cas de deux atomes par cellule unité (BEDT)

Projets complétés en 1999

Effet de la symétrie et de la dimension sur le pseudogap dans le modèle de Hubbard. Dans le cadre du projet de doctorat de Steve Allen nous avons vérifié que les précurseurs des quasiparticules de l'état supraconducteur existent aussi.  Cette étude est faite par simulations Monte Carlo du modèle de Hubbard attractif (Voir les travaux de Hugo Touchette et de David Poulin). Loin du demi-remplissage où la symétrie est O(2), la transition Kosterlitz-Thouless rend très étroite la plage de température où ces effets précurseurs existent.  Cependant, à demi-remplissage, une symétrie additionnelle rend la température critique strictement nulle puisqu'en deux dimensions le théorème de Mermin-Wagner prévient une transition à température finie pour une symétrie O(n>2). À proximité du demi-remplissage, la température de transition demeure beaucoup plus basse que la température champ moyen, ce qui crée une grande région de pseudo-gap. Dans le cas des supraconducteurs à haute température la théorie de Zhang suggère que le groupe de symétrie est SO(5), ce qui suffit pour que l'effet du théorème de Mermin-Wagner se manifeste. Ce problème du pseudogap est un des sujets présentement les plus étudiés dans ce domaine. Cet article a été publié dans Phys. Rev. Lett.

Susceptibilité de spin des électrons en une dimension: Effets de liquide de Luttinger et de réseau.  Nous avons montré que dans le cas uni-dimensionnel, la rétrodiffusion correspond à un opérateur marginal ayant pour conséquence que la susceptibilité de spin tend vers sa valeur à T=0 avec une pente infinie, contrairement au cas des liquides de Fermi. De plus, nous avons montré que le réseau produit un maximum dans cette même susceptibilité à une température qui dépend peu des interactions. Ce travail est paru dans European Journal of Physics B.

Théorie des perturbations en couplage fort  Comme le théorème de Wick ne s'applique pas dans la limite du couplage fort, il est beaucoup plus difficile d'obtenir un développement perturbatif systématique dans cette limite. Les travaux faits antérieurement avec C. Bourbonnais et Daniel Boies ont jeté les bases d'une approche perturbative systématique dans la limite du couplage fort.  S. Pairault, David Sénéchal, et moi-même avons réussi à généraliser cette approche pour pouvoir calculer des quantités dynamiques, comme la fonction de Green et le poids spectral, ce qui nous a permis d'aller au-delà des résultats obtenus antérieurement par d'autres approches. Un article complet basé sur la thèse de S. Pairault a été soumis l'été dernier. Il paraîtra dans European Journal of Physics B en 2000. Pour plus de détails, voir le rapport de David Sénéchal.

Problème à N-corps et simulations pour le pseudogap dans le modèle de Hubbard. Avec Samuel Moukouri, David Poulin François Lemay, Bumsoo Kyung et Yury Vilk, nous avons montré qu'une analyse en taille finie soignée des simulations Monte Carlo quantique démontre l'existence en couplage faible d'un pseudogap du type prédit par notre approche analytique. Cet article discute pourquoi les simulations antérieures n'étaient pas parvenu au résultat. Il démontre aussi que les approches de type ``Fluctuation Exchange", bien que très populaires, sont incapables de prédire une phase pseudogap. Cet article paraîtra dans Phys. Rev. B en mars 2000.

Un article de vulgarisation intitulé "Mathématiques, physique et technologies au XXème siècle" a été préparé pour une réunion de l'Association Mathématique du Québec.

Projets en cours, débutés avant janvier 2000.

e) Collaborateurs:

S. Allen (étudiant au 3e cycle, début décembre 1995)
C. Bourbonnais (professeur)
Bumsoo Kyung (stagiaire postdoctoral, début septembre 1998)
François Lemay (étudiant au 3e cycle, début janvier 1996)
Stéphane Lessard (étudiant au 2e cycle, début septembre 1996)
Samuel Moukouri (assistant de recherche, début septembre 1996)
Stéphane Pairault (étudiant au 3e cycle sous la direction de David Sénéchal)
David Poulin (stagiaire de premier cycle, hiver 1998 et automne 1998)
D. Sénéchal (professeur)
Y.M. Vilk (programmeur SAS à Chicago)

f) Summary :

We are studying the properties of models for strongly correlated electronic systems that are regarded as possible candidates for explaining high-temperature superconductivity as well as organic conductors.

Former work

With Yury Vilk, we have developed a new approach to the Hubbard model. It was published in 1997. It is based on enforcing conservation laws, the Pauli principle and a number of crucial sum-rules. More specifically, spin and charge susceptibilities are expressed, in a conserving approximation, as a function of two irreducible vertices whose values are found by imposing the local Pauli principle as well as the local-moment sum-rule and consistency with the equations of motion in a local-field approximation. The Mermin-Wagner theorem in two dimensions is automatically satisfied. The effect of collective modes on single-particle properties is then obtained by a paramagnon-like formula that is consistent with the two-particle properties. Since there is no Migdal theorem controlling the effect of spin and charge fluctuations on the self-energy, the required vertex corrections are included. It was shown that the theory is in quantitative agreement with Monte Carlo simulations for both single-particle and two-particle properties. The theory predicts a magnetic phase diagram where magnetic order persists away from half-filling but where ferromagnetism is completely suppressed. Both quantum-critical and renormalized-classical behavior can occur in certain parameter ranges. We have shown that in the renormalized classical regime, spin fluctuations lead to precursors of antiferromagnetic bands (shadow bands) and to the destruction of the Fermi-liquid quasiparticles in a wide temperature range above the zero-temperature phase transition. This is illustrated in our 1996 report. The upper critical dimension for this phenomenon is three. Pair fluctuations in attractive models can lead to analogous physical effects. These precursor effects are directly related to the existence of the famous "pseudogap regime", a subject of intense debate in the high Tc literature.

We also continue to develop and use our Monte Carlo simulations programs.
The program has been rewritten in Fortran 90 in 1996 and it runs on the SP parallel computer. We have developed code that allows us to extract real-frequency properties from imaginary time data. These Maximum Entropy programs are allowing us to investigate dynamical properties and to establish the difference between quantum-critical point and strong-coupling induced pseudogaps. These programs are also used in a number of projects described below.
 

Completed this year

In this work, we have shown that the magnetic susceptibility of a Luttinger liquid reaches its zero temperature value with an infinite slope, in stricking contrast with a Fermi liquid. In addition, a finite temperature maximum in the susceptibility can be explained by lattice effects that go beyond the renormalization group treatment. The finite temperature maximum is confirmed by Monte Carlo simulations. These cannot, however, reach low enough temperatures to verify the infinite slope prediction.
  Extending our earlier work, we have verified that superconducting precursors of Bogoliubov quasiparticles destroy Fermi liquid quasiparticles in the renormalized classical regime of the attractive Hubbard model, creating a fluctuation induced pseudogap.  The pseudogap regime exists in a wide temperature range when the order parameter has a symmetry larger than O(2). More specifically, in the two-dimensional attractive Hubbard model, there is a point at half-filling where Tc is driven to zero because of the O(3) symmetry and the Mermin-Wagner theorem.  Far away from half-filling, one recovers O(2) symmetry and a Kosterlitz-Thouless transition with a narrow critical regime. This has been confirmed by theoretical arguments and Monte Carlo calculations of both the single-particle and the pair fluctuation spectral weights. These general ideas on the effect of dimension and symmetry on pseudogap formation are relevant in particular in the context of SO(5) symmetric models.
  With S. Pairault and D. Sénéchal, we have developed a strong-coupling expansionthat goes beyond previous approaches in that it is not only a systematic way of generating the series, despite the lack of a Wick's theorem, it is also a method that allows us to extract dynamical quantities such as the single-particle spectral weight. This had not been done before.  Monte Carlo simulations have been performed to check this approach. The analytic approach is allowing us, for example, to study a regime where spin-charge separation has not occured but where antiferromagnetic fluctuations are strong.  The thesis work of S. Pairault is the subject of a comprehensive paper that has been accepted for publication. The crossover diagram op to order (t/U)5 has been obtained and compared favourably with the results of Monte Carlo simulations.
  The opening of a critical-fluctuation induced pseudogap (or precursor pseudogap) in the one-particle spectral weight of the half-filled two-dimensional Hubbard model has been demonstrated.  First we showed that finite-size scaling in Monte Carlo simulations must be done at constant Monte Carlo error. In that case, contrary to previous studies, a pseudogap is shown to exist. It may be obtained from the Many-Body approach that we have developed. It is shown that Self-consistent theories of the Eliashberg type (such as the Fluctuation Exchange Approximation) use renormalized Green functions and bare vertices in a context where there is no Migdal theorem. They do not find the pseudogap, in quantitative and qualitative disagreement with simulations, suggesting these methods are inadequate for this problem. Differences between precursor pseudogaps and strong-coupling pseudogaps are also discussed.
  was written for a general audience of mathematician attending the meeting of the "Association Mathématique du Québec".

Qubits supraconducteurs

a) Problématique :

L'espace de Hilbert d'un état quantique formé de N bits est de dimension 2N. L'action de l'opérateur d'évolution sur un vecteur dans cet espace de Hilbert peut être vu comme un calcul parallèle sur les 2N coefficients du développement d'un vecteur d'état sur les 2N vecteurs de base. Plusieurs algorithmes mettent à profit ce parallélisme massif pour rendre possible des calculs inconcevables avec les ordinateurs classiques. Plusieurs architectures ont été proposées pour réaliser un ordinateur quantique. Quelques-unes d'entre elles sont basées sur l'effet Josephson dans les supraconducteurs à haute température, mettant à profit la symétrie de type d du paramètre d'ordre. De tels qubits à l'état solide permettrent la conception d'architectures où le nombre de qubits peut facilement être augmenté systématiquement.

b) Objectifs :

Étudier les effets physiques qui pourraient nuire à l'établissement d'états quantiques cohérents dans les jonctions Josephson faites de supraconducteur de symétrie d afin de permettre la mise au point de qubits à l'état solide. Nous en sommes encore à un stade exploratoire et les objectifs précis restent à définir.

c) Méthodologie :

Les méthodes du problème à N-corps, les développements Ginzbourg-Landau, les méthodes d'intégrales fonctionnelles (Caldeira-Leggett) et celles de Chimie quantique sont toutes des méthodes qui pourraient être mises à profit.

d) Réalisations :

Co-direction avec S. Lacelle du mémoire de maîtrise de A. Blais.

e) Collaborateurs :

Alexandre Blais (étudiant, 3ème cycle, début janvier 2000)
Serge Lacelle (professeur, département de chimie)
Alexandre Zagoskin (Professeur associé, U.B.C. et Président recherche, d-wave systems)

f) Summary:

I have co-supervised with S. Lacelle the M.Sc. work of A. Blais on quantum computing. In collaboration with A. Zagoskin, we are also beginning exploratory studies of the feasability of a qubit based on d wave high-temperature superconductors.


Auteur et concepteur : André-Marie Tremblay